Вычисление экспоненты, синуса и косинуса - Экспонента

Экспонента

Если число a положительно, то его можно представить в виде суммы целой и дробной части: a=[a]+{a}. Целая часть может быть записана в беззнаковое длинное значение:

[a]=a₀2⁰+a₁2¹+...+a₃₁2³¹.

Дробная же часть может быть (для двойной точности) записана в формате двоичной дроби с фиксированной точкой, в которой имеется не более 48 битов:

{a}=a_-12^-1+a_-22^-2+...+a_-482^-48.

Поскольку, по свойству действительной экспоненты, e^x+y=e^xe^y, то для ее вычисления необходимо просто перемножить те значения exp(2^k), где k меняется от -48 до 31 (включая нуль), при которых соответствующие биты a_k ненулевые.

Более того, поскольку для положительных k уже значение exp(2⁸) дает число, близкое к предельно возможному для чисел двойной точности, то имеет смысл перемножать не более 8 значений для положительных k, а при обнаружении ненулевого бита a_k при k>7 возвращать признак переполнения (OVERFLOW).

Для отрицательных значений a=-c можно поступить двумя путями: либо вычислить экспоненту для c, а затем обратить, либо провести аналогичное разложение: a=-[c]-{c}, но при этом использовать табличные данные для обратных величин exp(-2^k). Вместо переполнения при обнаружении ненулевого бита для k>7 следует возвращать нуль. На данной странице приведен вариант с использованием табличных данных для обратных величин; это вообще исключает деление из процесса вычисления экспоненты.