Решение кубического уравнения

Кубическое уравнение записывается в виде:

x³+a*x²+b*x+c=0.

Для нахождения его корней, в случае действительных коэффициентов, вначале вычисляются: Q=(a²-3b)/9,    R=(2a³-9ab+27c)/54.

Далее, если R²<Q³, то уравнение имеет три действительных корня, вычисляющихся по формулам (Виета): t=acos(R/sqrt(Q³))/3,
x₁=-2*sqrt(Q)cos(t)-a/3,
x₂=-2*sqrt(Q)cos(t+(2*pi/3))-a/3,
x₃=-2*sqrt(Q)cos(t-(2*pi/3))-a/3.

В том случае, когда R²>=Q³, то действительных корней один (общий случай) или два (вырожденные случаи). Кроме действительного корня, имеется два комплексно-сопряженных. Для их нахождения вычисляются (формула Кардано):
A=-sign(R)[|R|+sqrt(R²-Q³)]^1/3,
B=Q/A при A!=0 или B=0 при A=0.

Действительный корень будет:
x₁=(A+B)-a/3.

Комплексно-сопряженные корни: x_2,3=-(A+B)/2-a/3 + i*sqrt(3)*(A-B)/2
В том случае, когда A=B, то комплексно-сопряженные корни вырождаются в действительный:
x₂=-A-a/3.

Формулы Кардано и Виета требуют применения специальных функций, и в том случае, когда требуется провести большую серию вычислений корней кубического уравнения с не слишком сильно меняющимися коэффициентами, более быстрым алгоритмом является использование метода Ньютона или других итерационных методов (с нахождением начального приближения по формулам Кардано-Виета).

Программа для нахождения корней кубического уравнения с действительными коэффициентами

Ниже расположена программа для нахождения корней кубического уравнения с действительными коэффициентами.

/* Решение кубического уравнения. Случай с действительными коэффициентами.

   int Cubic(double *x,double a,double b,double c);
   Параметры:
   x - массив решения (size 3). 
   На выходе:
       3 действительных корня -> затем x ими заполняется;
       1 действительный + 2 комплексных -> x[0] - действительный, x[1] действительная часть 
                             комплексных корней, x[2] - неотрицательная мнимая часть.
   a, b, c - коэффициенты 
   Результаты: 3 - 3 действительных корня;
            1 - 1 действительный + 2 комплексных;
            2 - 1 действительный корень + мнимая часть комплексных корней, если 0 
                (т.е. 2 действительных корня). 
*/

#include <math.h>   /* для sqrt(), fabs(), pow(), cos(), acos(). */
#define M_PI (3.141592653589793)
#define M_2PI (2.*M_PI)

int Cubic(double *x,double a,double b,double c) {
  double q,r,r2,q3;
  q=(a*a-3.*b)/9.; r=(a*(2.*a*a-9.*b)+27.*c)/54.;
  r2=r*r; q3=q*q*q;
  if(r2<q3) {
    double t=acos(r/sqrt(q3));
    a/=3.; q=-2.*sqrt(q);
    x[0]=q*cos(t/3.)-a;
    x[1]=q*cos((t+M_2PI)/3.)-a;
    x[2]=q*cos((t-M_2PI)/3.)-a;
    return(3);
  }
  else {
    double aa,bb;
    if(r<=0.) r=-r;
    aa=-pow(r+sqrt(r2-q3),1./3.); 
    if(aa!=0.) bb=q/aa;
    else bb=0.;
    a/=3.; q=aa+bb; r=aa-bb; 
    x[0]=q-a;
    x[1]=(-0.5)*q-a;
    x[2]=(sqrt(3.)*0.5)*fabs(r);
    if(x[2]==0.) return(2);
    return(1);
  }
}