Решение кубического уравнения

Кубическое уравнение записывается в виде:

x³+a*x²+b*x+c=0.

Для нахождения его корней, в случае действительных коэффициентов, вначале вычисляются: Q=(a²-3b)/9,    R=(2a³-9ab+27c)/54.

Далее, если R²<Q³, то уравнение имеет три действительных корня, вычисляющихся по формулам (Виета): t=acos(R/sqrt(Q³))/3,
x₁=-2*sqrt(Q)cos(t)-a/3,
x₂=-2*sqrt(Q)cos(t+(2*pi/3))-a/3,
x₃=-2*sqrt(Q)cos(t-(2*pi/3))-a/3.

В том случае, когда R²>=Q³, то действительных корней один (общий случай) или два (вырожденные случаи). Кроме действительного корня, имеется два комплексно-сопряженных. Для их нахождения вычисляются (формула Кардано):
A=-sign(R)[|R|+sqrt(R²-Q³)]^1/3,
B=Q/A при A!=0 или B=0 при A=0.

Действительный корень будет:
x₁=(A+B)-a/3.

Комплексно-сопряженные корни: x_2,3=-(A+B)/2-a/3 + i*sqrt(3)*(A-B)/2
В том случае, когда A=B, то комплексно-сопряженные корни вырождаются в действительный:
x₂=-A-a/3.

Формулы Кардано и Виета требуют применения специальных функций, и в том случае, когда требуется провести большую серию вычислений корней кубического уравнения с не слишком сильно меняющимися коэффициентами, более быстрым алгоритмом является использование метода Ньютона или других итерационных методов (с нахождением начального приближения по формулам Кардано-Виета).