Как убрать кнопку с названием моей программы из Панели Задач(Taskbar)?

Отредактируйте файл-проекта (View -> Project Source) Добавьте модуль Windows в раздел uses. Application.ShowMainForm := False; в строку после "Application.Initialize;". Добавьте ShowWindow(Application.Handle, SW_HIDE); в строку перед "Application.Run;"

Ваш файл проекта должен выглядеть приблизительно так:

program Project1;

uses
        Windows,
        Forms,
        Unit1 in 'Unit1.pas' {Form1},
        Unit2 in 'Unit2.pas' {Form2};

{$R *.RES}

begin
        Application.Initialize;
        Application.ShowMainForm := False;
        Application.CreateForm(TForm1, Form1);
        Application.CreateForm(TForm2, Form2);
        ShowWindow(Application.Handle, SW_HIDE);
        Application.Run;
end.

В разделе "initialization" (в самом низу) каждого unit'а добавьте

begin
        ShowWindow(Application.Handle, SW_HIDE);
end.