Китайская теорема об остатках

Written on .

ОГЛАВЛЕНИЕ

Пусть m - натуральное число, m1, m2, ..., mt - взаимно простые натуральные числа, произведение которых больше либо равно m.

Теорема

Любое число x: 0 <= x <= m может быть однозначно представлено в виде последовательности r(x) = (r1, r2, ..., rt), где ri = x(mod mi).

Для любых чисел r1 .. rt, таким образом, существует единственное число x(mod m), такое что

x = ri(mod mi), 1 <= i <= t

Более того, любое решение x набора такого сравнений имеет вид

x = r1*e1 + ... + rt*et (mod m), где ei = m / mi * ( ( m/mi )-1 mod mi ), 1 <= i <= t.

Вышеприведенная формулировка - Китайская Теорема об Остатках в том виде, в котором ее сформулировал в 1247 году нашей эры китаец Jiushao Qin.

Заметим, что число m/mi = m1*...*mi-1*mi+1*...*mt взаимно просто с mi, а значит обратное число в формуле для ei всегда существует. Кроме того, имеют место равенства

ei*ei = ei (mod m)
ei * ej = 0 (mod m), i =/= j.

Знакомым с теорией колец: Zm = Zm1 + ... + Zmt, сумма прямая. ei, как следует из равенств выше - ортогональные идемпотенты в кольце Zm.

Иначе говоря, кольцо R = Zm разлагается в прямую сумму

R = R1 + R2 + ... + Rt ,
где Ri = Rei = {a*ei (mod m): a - целое} ~ Zmi , 1 <= i <= t.

Последовательность ( r1, ..., rt ) называется модульным представлением x. Набор модульных представлений для всех x: 0 <= x <= m называется системой вычетов.

Операции

Сумма представлений - последовательность wi = ri + ui mod mi

Произведение - последовательность zi = ri * ui mod mi.

Как восстановить число по системе вычетов?


 

Алгоритм Гаусса

Очевидный алгоритм получается, если вычислять x по формуле, данной в теореме:

На входе: 
положительные взаимно простые m1, ..,mt
целые r1, .., rt

На выходе:
Целое число x:
x = ri (mod mi), 1 <= i <= t
0 <= x <= m, m = m1*..*mt

1. Вычислить m = m1*..*mt, положить x=0.
2. for i=1, 2, .., t do
	вычислить yi = m/mi
	вычислить расширенным алгоритмом Евклида si = yi-1 mod mi
    ci = ri*si mod mi
    x = x + ci*yi (mod m)
3. Возвратить x


Алгоритм Гарнера

Пусть все mi > 1, m = m1*..*mt. Тогда любое число 0 <= x < m может быть однозначным образом представлено в виде

x = x0 + x1m1 + x2m1m2 + ... + xt-1m1m2*...*mt-1 ,
где 0 <= xi < mi+1, i = 0, 1, .., t-1.

Для xi верно соотношение

xi = ri+1 - ( x0 + x1m1 + .. + xi-1m1mi-1) (mod mi+1)
m1*..*mi
Таким образом, xi могут быть вычеслены один за другим. Получившийся алгоритм носит имя Гарнера(Garner). Он также пригоден для аналогичных операций с полиномами (в предыдущем алгоритме требуются некоторые изменения). 

1. For i from 2 to t {
    1.1 Ci := 1; 
    1.2 For j from 1 to (i-1) {
           u := mj-1 mod mi; 
           Ci := u*Ci mod mi; 
        }
    }
2. u := r1; x := u; 
3. For i from 2 to t {
       u := (ri-x)Ci mod mi;
	   x := x + u* [ Произведение mj от j=1 до i-1 ]; 
    }
4. return (x);

Пример: пусть
m1=5, m2=7, m3=11, m4=13,
m = m1*m2*m3*m4 = 5*7*11*13 = 5005,
r(x) = (2, 1, 3, 8).

Константы Ci: C2=3, C3=6, C4=5.

Значения (i, u, x), вычисленные на шаге 3: (1, 2, 2); (2, 4, 22); (3, 7, 267) и (4, 5, 2192).

Таким образом модульное представление r(x) отвечает x = 2192.

Примечание Нахождение m-1 - обратного элемента по модулю можно осуществить опять по алгоритму Евклида.
форум firemonkey