Фрактал «магнитный маятник» - Обзор модели
ОГЛАВЛЕНИЕ
Обзор модели
Данная статья описывает численную модель, демонстрирующую, как малые изменения в начальных условиях моделирования приводят к большим изменениям результатов. Результатом является непредсказуемость результата моделирования, так как даже малейшее изменение в условиях может сильно повлиять на результат.
Начнем с деталей. Классическая модель предполагает наличие магнитного маятника, притягиваемого тремя магнитами, каждый из которых имеет разный цвет. Магниты расположены под маятником на круге с центром в точке крепления маятника. Магниты достаточно сильные, чтобы притягивать маятник так, чтобы он не остановился в среднем положении. Следующий рисунок показывает вид модели сверху. Цветные круги обозначают магниты, пересечение в центре – точка крепления маятника. Моделирование будет вычислять траекторию, выбираемую маятником под влиянием всех трех источников с гравитацией и трением. Из-за потери энергии в результате трения маятник рано или поздно остановится над одним из магнитов. Затем начальная точка окрашивается в цвет этого же самого магнита. Выполнение этого для всех пикселей даст красивую карту, показывающую узор, состоящий из красных, зеленых и синих пикселей.
Рисунок 1 (слева): Отрисовка экспериментальной модели ; (справа): Малые изменения в начальных положениях приводят к большим изменениям в движении маятника
Результаты показаны на рисунках 1 и 3. Белое пятно в центре рисунка 3 вызвано остановкой маятника в центре. Это обусловлено параметрами, использованными в этом примере. Так как малоокрашенные изображения некрасивы, надо было добавить больше цвета. Единственная информация, доступная для каждого пикселя, - цвет магнита, верно? Поиск в интернете показывает, что большинство кодов, реализующих эту модель, останавливаются тут, но чуть больше кода может существенно улучшить результаты. Помните, для каждого пикселя вычисляется полная траектория маятника. Следовательно, перевести часть информации из траектории в цветовую информацию – хорошая идея. Самое банальное – длина траектории. Поэтому использование длины траектории для определения яркости пикселя кажется логичным шагом (это уже было сделано в оригинальной версии, опубликованной в Scientific American). Это можно сделать с помощью функций пересчета цвета, принимающих длину траектории и максимальную длину траектории в качестве параметров. Пересчет применяется к цвету источника. Вообще, приложение может использовать любую функцию, но на деле полезны следующие три:
Рисунок 2: Обзор с помощью разных цветовых функций
Как видно, результат весьма интересный, если, конечно, вы интересуетесь теорией хаоса (если же нет, то любопытно, почему вы все еще читаете?). Начальные точки, дающие более длинные траектории, показаны в более темных цветах, придавая дополнительную сложность изображению. Приложение позволяет определять пользовательские формулы для пересчета цвета. Эти формулы будут интерпретироваться с помощью muParser.
Рисунок 3 (слева направо): Структура модели; Цвет определяется индексом магнита; Цвет определяется индексом магнита и длиной траектории
Упрощения
Вся эта трехмерная физика реализована так просто, что об этом неловко говорить. Имеет место мухлеж!
Маятник является упрощенной двумерной версией, предполагающей, что сила, тянущая маятник назад к центру, подчиняется закону Гука (пропорциональна расстоянию). Это упрощение, избавляющее от необходимости вычислять углы поворота, перекрёстные произведения и все вещи, которые понадобились бы в противном случае. Реализация физически верной модели потребовала бы слишком много добавочной работы. Главной целью было получить картинку для стены, а физически верная версия преобразовалась бы в шар, а не в плоскость. Поскольку шар нельзя повесить на стену, была выбрана двухмерная версия. Разумеется, двухмерная версия верна лишь для маленьких удлинений.
Рисунок 4: Примеры кривых сила против расстояния для силы Гука и для магнитной силы
Предполагается, что магниты вызывают силу, пропорциональную обратному квадрату расстояния до маятника. В принципе, это сродни закону тяготения или закону Кулона. Все эти законы очень похожи, но здесь речь идет о (гипотетических) магнитных монополях, а не массах или зарядах. Это предположение соответствует тому, что все делают при моделировании маятника и магнитов. В реальности магниты являются диполями. Диполь вызывает силы, пропорциональные 1/r?, а не 1/r?. Расчет силы не учитывает это, хотя можно было бы смоделировать диполь с помощью двух источников-монополей. Предполагается, что маятник сделан из железа, причем не учитываются вихревые токи, которые были бы индуцированы в реальности.