Нахождение обратного элемента по модулю

Для начала заметим, что элемент a кольца Z_n обратим тогда и только тогда, когда НОД(a,n)=1. То есть ответ есть не всегда. Из определения обратного элемента прямо следует алгоритм.

Псевдокод

НА ВХОДЕ: а из Zn.
НА ВЫХОДЕ: обратный к а в кольце, если он существует.

1. Использовать расширенный алгоритм Евклида для нахождения
   x и y, таких что ax + ny = d, где d=НОД(a,n).
2. Если d > 1, то обратного элемента не существует.
    Иначе возвращаем x.

Исходник на Си

/*  Author:  Pate Williams (c) 1997 */

#include <stdio.h>

void extended_euclid(long a, long b, long *x, long *y, long *d)
/* вычисление a * *x + b * *y = gcd(a, b) = *d */
{
  long q, r, x1, x2, y1, y2;
  if (b == 0) {
    *d = a, *x = 1, *y = 0;
    return;
  }

  x2 = 1, x1 = 0, y2 = 0, y1 = 1;
  while (b > 0) {
    q = a / b, r = a - q * b;
    *x = x2 - q * x1, *y = y2 - q * y1;
    a = b, b = r;
    x2 = x1, x1 = *x, y2 = y1, y1 = *y;
  }

  *d = a, *x = x2, *y = y2;
}

long inverse(long a, long n)
/* вычисление инверсии модуля n */
{
  long d, x, y;
  extended_euclid(a, n, &x, &y, &d);
  if (d == 1) return x;
  return 0;
}

// главная фукнция
int main(void)
{
  long a = 5, n = 7;
  printf("инверсия %ld modulo %2ld is %ld\n", a, n, inverse(a, n));
  a = 2, n = 12;
  printf("инверсия %ld modulo %2ld is %ld\n", a, n, inverse(a, n));
  return 0;
}